Inhoud masterclass
Betegelingen en ornamenten
Betegelingen komen we in het dagelijkse leven vaak tegen, bijvoorbeeld de wand- of vloertegels in de badkamer of de tegels in de bestrating. In de badkamer zijn de tegels meestal vierkanten of rechthoeken, bij de bestrating komen we vaak ook rechthoeken tegen, maar dan in een visgraat patroon. De eis aan een betegeling is dat een vlak in zijn geheel opgevuld wordt zonder dat de tegels overlappen. Natuurlijk mogen de tegels ook versierd zijn, dan vormen de versieringen een ornament in het vlak.
Bijzonder mooie betegelingen vinden we door aanvullende eisen te stellen, bijvoorbeeld dat alle tegels dezelfde vorm hebben of dat de tegels zelfs regelmatig zijn, d.w.z. alle zijden en hoeken zijn even groot. Als we de strengste eisen opleggen, namelijk dat alle tegels regelmatige veelhoeken van een enkele soort zijn, zijn we snel klaar, want dan zijn betegelingen met gelijkzijdige driehoeken, vierkanten en regelmatige zeshoeken de enige mogelijkheden. Een interessante speurtocht is het nu, de regels dusdanig af te zwakken, dat we meer variaties krijgen, maar nog steeds het overzicht kunnen houden over alle betegelingen die aan de minder strenge regels voldoen.
Als we verschillende betegelingen of ornamenten vergelijken, is hun symmetrie een belangrijk aspect. Hierbij kijken we onder welke rotaties, spiegelingen, verschuivingen enz. een ornament ongedeerd blijft. Ornamenten die dezelfde symmetrieën hebben worden vaak in een klasse samengevat omdat ze belangrijke eigenschappen delen. Het is dan ook mogelijk een ornament met gegeven symmetrieën te construeren. Een meester voor dit soort constructies was de Nederlandse graficus M.C. Escher en we zullen proberen, zelf ook betegelingen met herkenbare figuren te maken zoals Escher dat deed.

In de wiskundige idealisering gaat een betegeling van het vlak oneindig door. Een manier om zo’n oneindig patroon te beschrijven bestaat erin, een stukje aan te geven en dit door verschuiving steeds weer te herhalen. Op het eerste gezicht lijkt het er op, dat dit misschien ook de enige mogelijke beschrijving is, maar in de jaren 1960 werd door R. Penrose een betegeling bedacht die twee soorten van tegels gebruikt maar geen enkele verschuiving toelaat. De manier hoe deze betegelingen beschreven worden legt een verband met fractals, want de tegels laten zich onderverdelen in kleinere versies van dezelfde tegels, zo dat op een kleinere schaal weer dezelfde patronen te voorschijn komen. Verrassend genoeg is dit principe van onderverdeling in tegels van dezelfde soort ook in islamitische ornamenten terug te vinden, die deels meer dan 800 jaar oud zijn.
Na afloop van de lessen ga je een profielwerkstuk maken met een eigen invulling. Mogelijke onderwerpen hiervoor zijn:
- Ornamenten met gegeven symmetrieeigenschappen vinden en ontwerpen
- Betegelingen a la Escher construeren
- Penrose betegelingen analyseren
- Ornamenten met eigenschappen van fractals ontwerpen
Begeleider: Dr. Bernd Souvignier